Question

在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC=

 

．

Answer 1

考点：三角形的五心

专题：

分析：设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GA、GB、AO，易证四边形AGBH是平行四边形，则有BG=AH．易证OD∥AE，结合OA=OD可证到∠OAN=∠HAN，从而可证到△ANO≌△ANH，则有AO=AH，从而得到BG=1，然后在Rt△GBC中运用勾股定理即可求出BC的值．

解答：解：设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，
∵CG是⊙O的直径，∴∠CBG=∠CAG=90°，
∴BG⊥BC，AG⊥AC．
∵H为△ABC的垂心，
∴AE⊥BC，BF⊥AC，
∴AE∥BG，AG∥BF，
∴四边形AGBH是平行四边形，
∴BG=AH．
∵AL平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
根据垂径定理的推论可得：OD⊥BC．
∵AE⊥BC，∴OD∥AE，
∴∠ODA=∠EAD．
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠EAD．
∵AL垂直于OH，
∴∠ANO=∠ANH=90°．
在△ANO和△ANH中，

∠OAN=∠HAN AN=AN ∠ANO=∠ANH

，
∴△ANO≌△ANH（ASA），
∴AO=AH，
∴BG=AH=AO=1．
在Rt△GBC中，
∵BG=1，GC=2，
∴BC=

GC2-BG2

=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题主要考查了三角形的外心、垂心、平行四边形的判定与性质、垂径定理的推论、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证到四边形AGBH是平行四边形及△ANO≌△ANH是解决本题的关键．