Question

【题目】如图1，已知 为正方形 的中心，分别延长 到点 ， 到点 ，使 ， ，连结 ，将△ 绕点 逆时针旋转 角得到△ （如图2）．连结 、 ．

（Ⅰ）探究 与 的数量关系，并给予证明；
（Ⅱ）当 ， 时，求：
① 的度数；
② 的长度．

Answer 1

【答案】解：如图:

（Ⅰ）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，

又∵OF=2OA，OE=2OD，

∴OE=OF，则OE′=OF′，

在△AOE′和△BOF′中，

∴△AOE′≌△BOF′

∴AE′=BF′；

（Ⅱ）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．

∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，

∴∠AOE′=90°﹣30°=60°，

∴△OME′是等边三角形，

又∵AM=OA，

∴AE′⊥OM，

则∠E′AO=90°，

∴∠AOE′=90°﹣α=60°，

∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°；

②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°，

∴∠AOF′=30°，

又∵∠AOB=90°，

∴∠BOF′=60°，

又∵等腰直角△AOB中，OB= AB= ，

∴在Rt△ABE'中得到AE'= OA= ，

又BF'=AE'

∴BF′= ．

【解析】（Ⅰ）由正方形的性质可证明△AOE′≌△BOF′，进而得出结论；
（Ⅱ）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．由正方形的性质和已知可得△OME′是等边三角形，进而在直角△AOE′中可求出∠AE′O的度数；
②先求出∠BOF′=60°，在等腰直角△AOB中利用三角函数可求出OB的长，在Rt△ABE'中利用三角函数可求出AE′的长，从而可得BF′的长.