Question

【题目】如图1，正方形ABCD的边长为8，⊙O经过点C和点D，且与AB相切于点E．

（1）求⊙O的半径；

（2）如图2，平移⊙O，使点O落在BD上，⊙O经过点D，BC与⊙O交于M，N，求MN2的值．

Answer 1

【答案】（1）5（2）160﹣206

【解析】

试题分析：（1）如图1中，连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．构建方程即可解决问题．

（2）如图2中，作OP⊥BC于P，连接ON，则OD=ON=5，在Rt△OPN中，求出PN2即可解决问题．

试题解析：（1）连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．

∵AB切○O于E，

∴EF⊥AB，

∵AB∥CD，

∴EF⊥CD，

∴∠OFD=90°，

在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，

∴x2=（8﹣x）2+42，

∴x=5，

∴⊙O的半径为5．

（2）如图2中，作OP⊥BC于P，连接ON，则OD=ON=5，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BD=8，OB=BD﹣OD=8﹣5，OP==8﹣，

∴PN2=ON2﹣OP2=52﹣（8﹣）2=40﹣51.5，

∵MN=2PN，

∴MN2=4PN2=4（40﹣51.5）=160﹣206．