Question

11．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：
（1）经过多少秒，△CPQ∽△CBA；
（2）经过多少秒，以CPQ为定点的三角形恰与△ABC相似．

Answer 1

分析 （1）设经过t秒时，△CPQ∽△CBA，根据相似三角形的性质得到CP：CB=CQ：CA，解方程即可得到结论；
（2）因为相似三角形的对应边对应成比例，所以当以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似时，也就是CP：CB=CQ：CA或CQ：CB=CP：CA时可求出相对应的时间．

解答 ′′解：（1）∵BC=8cm，AC：AB=3：5，
∴AC=6cm，
设经过t秒时，△CPQ∽△CBA，
∴CP：CB=CQ：CA，
则（8-2t）：8=t：6，
解方程得t=2.4s，经过2.4秒时，△CPQ∽△CBA，

（2）∵BC=8cm，AC：AB=3：5，
设AC=3x．AB=5x，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4x=8，
∴x=2，
∴AC=6cm，
设经过t秒时：CP：CB=CQ：CA
则（8-2t）：8=t：6
解方程得t=2.4s．
设经过t秒时，CQ：CB=CP：CA
则t：8=（8-2t）：6
t=$\frac{32}{11}$s．
在t=2.4s和$\frac{32}{11}$s时，△CPQ与△CBA相似．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，关键是知道哪些线段对应成比例时两个三角形相似．