Question

已知一个二次函数的图象经过如图所示的三个点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）平行于x轴的直线l的解析式为y=

25

4

，抛物线与x轴交于A、B两点，在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线l与x轴间的距离．求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，在图中可得已知坐标，代入解析式求出函数表达式即可．
（2）令y=0求出点B的坐标．然后设点P的坐标为（3，y），根据勾股定理求出y值后可求出点P的坐标．

解答：解：（1）
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
把（0，-3），（1，2），（4，5）代入得：

-3=c 2=a+b+c 5=16a+4b+c

，
解得：a=-1，b=6，c=-3，
即二次函数的解析式为y=-x²+6x-3，
∴-

b

2a

=-

6

2×(-1)

=3，
∴抛物线的对称轴为直线x=3．

（2）解：当y=0时，-x²+6x-3=0
解得：x₁=3+

6

，x₂=3-

6

，
即B（3+

6

，O）．
设点P的坐标为（3，y），
由勾股定理，BP²=y²+6．
∵l与x轴的距离是

25

4

，
可解得y=±

23

4

．
∴所求点P为（3，

23

4

）或（3，-

23

4

）．

点评：本题考查的是二次函数的性质以及待定系数法求二次函数值的相关知识，难度一般．