Question

6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M．
（1）如图1，若∠B=30°，求证：△ACD是等边三角形；
（2）如图2，若AC=10，AD=13，∠CDH=∠A．
①求线段DM的长；
②点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当△DMN是等腰三角形时，求线段MP的长．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理求出∠A的度数，根据D为直角三角形斜边上的中点，得到CD=AD，利用等边对等角及内角和定理得到∠ADC=60°，利用等边三角形的判定方法判断即可得证；
（2）①由D为斜边上的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定出AC=CD=AD，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，确定出DH与AC平行，确定出DM为三角形ABC中位线，利用中位线定理判断即可求出DM的长；
②分三种情况考虑：当MN=DN；当MN=DM；当DN=DM，分别求出MP的长即可．

解答 （1）证明：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
由题意可得D是直角三角形斜边A边上的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=60°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD为等边三角形；
（2）解：①∵点D是直角三角形斜边AB上的中点，
∴AC=CD=AD，
∴∠ACD=∠A，
∵∠CDH=∠A，
∴∠ACD=∠CDH，
∴DH∥AC，
∴DM为△ABC的中位线，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC=5；
②分三种情况考虑：
（i）当MN=DN时，如图1所示，
由①得：AD=CD，∠A=∠ACD=∠CDH，DM=5，
∵MN=DN，
∴∠CDN=∠DMN=∠A=∠ACD，
∴△ADC∽△DNM，
∴$\frac{DN}{AD}$=$\frac{DM}{AC}$，即$\frac{DN}{13}$=$\frac{5}{10}$，
解得：DN=$\frac{13}{2}$=$\frac{1}{2}$CD，
∴CN=DN，
∵DH∥AC，
∴△ACN≌△PDN，
∴PD=AC=10，
∴MP=PD-DM=10-5=5；
（ii）当MN=DM=5时，如图2所示，则有∠MND=∠MDN=∠ACD=∠A，
∴△ADC∽△MDN，
∴$\frac{DN}{AC}$=$\frac{DM}{AD}$，即$\frac{DN}{10}$=$\frac{5}{13}$，
解得：DN=$\frac{50}{13}$，
∴CN=13-$\frac{50}{13}$=$\frac{119}{13}$，
∵△ACN∽△PDN，
∴$\frac{PD}{AC}$=$\frac{DN}{CN}$，即$\frac{PD}{10}$=$\frac{\frac{50}{13}}{\frac{119}{13}}$，
解得：PD=$\frac{500}{119}$，
则MP=DM-PD=5-$\frac{500}{119}$=$\frac{95}{119}$；
（iii）当DN=DM时，如图2所示，则有DN=5，CN=13-5=8，
∵△ACN∽△PDN，
∴$\frac{PD}{AC}$=$\frac{DN}{CN}$，即$\frac{PD}{10}$=$\frac{5}{8}$，
解得：PD=$\frac{25}{4}$，
则MP=PD-DM=$\frac{5}{4}$．

点评 此题属于三角形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．