Question

11． 如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，CF=$\frac{1}{4}$CD，连接AE、AF、EF．设CF=a
（1）分别求线段AE、AF、EF的长（用含a的代数式表示）；
（2）求证：△AEF为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°，由已知条件得出AD=DA=4a，BE=CE=2a，DF=3a，由勾股定理求出AE、AF、EF即可；
（2）求出AE²+EF²=AF²，根据勾股定理的逆定理即可得出结论．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°，
∵点E为BC的中点，CF=$\frac{1}{4}$CD，CF=a，
∴AD=DA=4a，BE=CE=2a，DF=3a，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
AF=$\sqrt{D{A}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}+（3a）^{2}}$=5a，
EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{（2a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a；
（2）证明：∵AE²+EF²=（2$\sqrt{5}$a）²+（$\sqrt{5}$a）²=25a²，AF²=（5a）²=25a²，
∴AE²+EF²=AF²，
∴∠AEF=90°，
即△AEF为直角三角形．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．