Question

16．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与直线y=x交于点M，∠AMB=90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）点P在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF=90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y=x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE=PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，根据AAS证明△AMC≌△BMD，那么S_{四边形OCMD}=S_{四边形OAMB}=6，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出k=6；
（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P的坐标为（3，2）．再分两种情况进行讨论：①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．根据AAS证明△PGE≌△FHP，进而求出E点坐标；②如图3，同理求出E点坐标．

解答 解：（1）如图1，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，
则∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD，MC=MD，
∴△AMC≌△BMD，
∴S_{四边形OCMD}=S_{四边形OAMB}=6，
∴k=6；

（2）存在点E，使得PE=PF．
由题意，得点P的坐标为（3，2）．
①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．
∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，
∴△PGE≌△FHP，
∴PG=FH=2，FK=OK=3-2=1，GE=HP=2-1=1，
∴OE=OG+GE=3+1=4，
∴E（4，0）；
②如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．
∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，
∴△PGE≌△FHP，
∴PG=FH=2，FK=OK=3+2=5，GE=HP=5-2=3，
∴OE=OG+GE=3+3=6，
∴E（6，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，有一定难度．利用数形结合与分类讨论是解题的关键．