Question

【题目】如图（1），已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴负方向交于C点，且．

（1）试求出抛物线的解析式；

（2）E为直线上．动点，F为抛物线对称轴上一点，当F点在对称轴上何处时，四边形ACFE的周长最短，并求出此时四边形的周长；

（3）如图（2），为x轴上一点，抛物线上x轴的上方是否存在点P，使得线段AP与直线CD相交且它们的夹角为45°，若存在这样的P点，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）四边形ACFE的最短周长，；（3）存在这样的P点，且

【解析】

（1）令y=0，可求得A(-1.0),B(3,0),根据条件求出点C的坐标，把点C的坐标代入抛物线的解析式求出a即可;

（2）设点A关于直线y=1的对称点,点C关于抛物线对称轴的对称点，连接与直线y=1交于点E，与对称轴交于点F，此时四边形ACEF的周长最短，求出直线与对称轴的交点即可;

（3）设AP交CD于M，连BC．可证，得出，过M作轴于E，则可证，得到，，得到AM的解析式，联立方程组即可求解.

解：（1），

∴，．

∵，，

∴．∴，∴

（2）设A关于的对称点为，则，设C关于抛物线对称轴的对称点为则．

设直线的解析式为，

则有，解得

∴，当时，，∴．

四边形ACFE的最短周长，

，．

∴四边形ACFE的最短周长，此时．

（3）设AP交CD于M，连BC．

可证：，

∴，即．

∴．

过M作轴于E，则可证，

∴，即．

∴，，

∴AM的解析式为：．

由解得舍去

∴存在这样的P点，且