Question

【题目】在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）

（1）小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是　 　三角形；∠ADB的度数为　 　．

（2）在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；

（3）在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE的长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）①△D′BC是等边三角形，②∠ADB=30°（2）∠ADB=30°；（3）7+或7﹣

【解析】

（1）①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形；

②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．

（2）当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．

（3）第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．

（1）①如图2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∵∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，

在△ABD和△ABD′中，

∴△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，

∵BD=BD′，BD=BC，

∴BD′=BC，

∴△D′BC是等边三角形，

②∵△D′BC是等边三角形，

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，

在△AD′B和△AD′C中，

∴△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∴∠AD′B=∠BD′C=30°，

∴∠ADB=30°．

（2）∵∠DBC＜∠ABC，

∴60°＜α≤120°，

如图3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠BAC=α，

∴∠ABC=（180°﹣α）=90°﹣α，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣α﹣β，

同（1）①可证△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣α﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣α﹣β+90°﹣α=180°﹣（α+β），

∵α+β=120°，

∴∠D′BC=60°，

由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∴∠AD′B=∠BD′C=30°，

∴∠ADB=30°．

（3）第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，

由（2）知，∠ADB=30°，

作AE⊥BD，

在Rt△ADE中，∠ADB=30°，AD=2，

∴DE=，

∵△BCD'是等边三角形，

∴BD'=BC=7，

∴BD=BD'=7，

∴BE=BD﹣DE=7﹣；

第②情况：当0°＜α＜60°时，

如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．

同理可得：∠ABC=（180°﹣α）=90°﹣α，

∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣（90°﹣α），

同（1）①可证△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=β﹣（90°﹣α），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]=180°﹣（α+β），

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．

同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，

∴∠ADB=∠AD′B=150°，

在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=2，

∴DE=，

∴BE=BD+DE=7+，

故答案为：7+或7﹣．