Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-1），且对称轴为直线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
（3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由；
（4）抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分成面积比为1：5的两部分，直接写出此时m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题,三角形的面积

专题：综合题

分析：（1）根据经过的点的坐标和对称轴列出关于b、c的方程组，然后求解得到b、c的值，即可得解；
（2）根据点P在抛物线上表示点P的坐标，再求出PA，然后表示出QB，从而求出点Q的横坐标，代入抛物线解析式求出点Q的纵坐标，从而得解；
（3）根据点P、Q的坐标表示出点A、B的坐标，然后分别求出PQ、BQ、AB，即可得解；
（4）根据抛物线的对称性，抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁的对称轴为QB的垂直平分线，然后根据四边形PAQB被分成的两个部分列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-1），且对称轴为在线x=2，
∴

1+b+c=-1 - b 2 =2

，
解得

b=-4 c=2

．
∴这条抛物线所对应的函数关系式y=x²-4x+2；

（2）∵抛物线上点P的横坐标为m，
∴P（m，m²-4m+2），
∴PA=m-2，
QB=PA+1=m-2+1=m-1，
∴点Q的横坐标为2-（m-1）=3-m，
点Q的纵坐标为（3-m）²-4（3-m）+2=m²-2m-1，
∴点Q的坐标为（3-m，m²-2m-1）；

（3）PA+QB=AB成立．
理由如下：∵P（m，m²-4m+2），Q（3-m，m²-2m-1），
∴A（2，m²-4m+2），B（2，m²-2m-1），
∴AB=（m²-2m-1）-（m²-4m+2）=2m-3，
又∵PA=m-2，QB=m-1，
∴PA+QB=m-2+m-1=2m-3，
∴PA+QB=AB；

（4）∵抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）经过Q、B、P三点，
∴抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁的对称轴为QB的垂直平分线，
∵对称轴把四边形PAQB分成面积为1：5的两部分，
∴

1

2

×

m-1

2

×

2m-3

2

=

1

1+5

×

1

2

（2m-3）×（2m-3），
整理得，（2m-3）（m-3）=0，
∵点P位于对称轴右侧，
∴m＞2，
∴2m-3≠0，
∴m-3=0，
解得m=3．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，抛物线上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于（4）根据抛物线的对称性判断出抛物线的对称轴为QB的垂直平分线．