Question

9．如图，等边三角形ABC中，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点，且满足∠DAE=120°．
（1）求证：△ADB∽△EAC；
（2）若BD=1，AB=2，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可知：∠ABC=∠ACB=60°，从而得到∠DBA=∠ECA=120°，然后再证明∠DAB=∠E，从而可证明△ADB∽△EAC；
（2）由相似三角形的性质可求得CE的长，然后根据ED=BD+CB+CE求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∴∠DBA=∠ECA=120°．
∵∠DAE=120°，
∴∠D+∠E=60°．
又∵∠D+∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠E．
∴△ADB∽△EAC．
（2）∵△ADB∽△EAC，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{AC}{CE}$，即$\frac{1}{2}=\frac{2}{CE}$．
解得：CE=4．
∴DE=BD+BC+CE=1+2+4=7．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．