Question

16．如图，已知一个三角形纸片ABC，BC=10，BC边上的高为8，M为AB边上一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点，NQ⊥BC，MP⊥BC，垂足分别为Q、P，设MN=x，矩形MNQP的面积为y．
（1）请用x表示MP；
（2）填空：当x=$\frac{40}{9}$时，四边形MNQP是正方形；
（3）求y关于x的函数关系式，并求函数y的最大值．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，交MN于E，由平行线得出△AMN∽△ABC，由平行线的性质得出$\frac{MN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即可得出结果；
（2）当MN=MP，得出x=-$\frac{4}{5}$x+8，解方程即可；
（3）由矩形的面积得出y=x（-$\frac{4}{5}$x+8）=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20，由-$\frac{4}{5}$＜0，得出当x=5时，y有最大值=20即可．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，交MN于E，
∵四边形MNQP是矩形，
∴MP=ED，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{x}{10}=\frac{8-MP}{8}$，
解得：MP=-$\frac{4}{5}$x+8；
（2）当MN=MP，四边形MNQP是正方形；
即x=-$\frac{4}{5}$x+8，
解得：x=$\frac{40}{9}$，
即当x=$\frac{40}{9}$时，四边形MNQP是正方形；
故答案为：$\frac{40}{9}$；
（3）根据题意得：y=x（-$\frac{4}{5}$x+8）=-$\frac{4}{5}$x²+8x=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20，
∵-$\frac{4}{5}$＜0，
∴当x=5时，y有最大值=20．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定、二次函数的最值；熟练掌握相似三角形的判定与性质，由相似三角形的性质得出MP是解决问题的关键．