Question

4．为加速南充森林建设，市政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴，规定每年培植一亩树苗一次性补贴若干元，随着补贴数字的不断增大，某地苗圃每年育苗规模也不断增加，但每年每亩苗圃的收益会相应下降，经调查每年培植亩数y（亩）与政府每亩补贴数额x（元）之间有如下关系（政府补贴为100元的整数倍，且每亩补贴不超过1000元）：

x（元）	0	100	200	300	400
y（亩）	600	1000	1400	1800	2200

而每年每亩的收益p（元）与政府每亩补贴数额x（元）之间满足一次函数关系p=-5x+9000
（1）请观察题中的表格，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗亩数y（亩）与政府每亩补贴数额x（元）之间的函数关系式；
（2）当2012年政府每亩补贴数额x（元）是多少元时，该地区苗圃收益w（元）最大，最大收益是多少元？
（3）在2012年苗圃取得最大收益的育苗情况下，该地区培植面积刚好达到最大化，要想增收，只能提高每亩收益．经市场调查，培育银杏树苗畅销，每亩的经济效益相应会更好.2013年该地区用去年育苗面积的（30-a）%的土地培育银杏树苗，其余面积继续培植一般类树苗，预计今年培育银杏类树苗每亩收益在去年培植一般类树苗每亩收益的基础上增加了（100+3a）%，由于培育银杏类树苗每亩多支出1000元，2013年该地区因培育银杏类树苗预计比去年增收399万元．请参考以下数据，通过计算，估算出a的整数值．（参考数据：$\sqrt{35}$=5.916，$\sqrt{37}$=6.082，$\sqrt{39}$=6.244）

Answer 1

分析 （1）首先猜想：y与x是一次函数关系．设y=kx+b，进而求出解析式，进而验证即可；
（2）利用w=yp=（4x+600）（-5x+9000），进而求出函数最值；
（3）根据题意结合变化后的土地面积与树苗每亩收益，利用2013年该地区因培育银杏类树苗预计比去年增收399万元，进而得出等式求出答案．

解答 解：（1）猜想：y与x是一次函数关系．设y=kx+b（k≠0）
则$\left\{\begin{array}{l}{600=0+b}\\{1000=100k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=600}\end{array}\right.$，
故y=4x+600，
验证：当x=200时，y=4×200+600=1400，
结论：猜想成立，即y=4x+600；

（2）w=yp=（4x+600）（-5x+9000）
由（4x+600）（-5x+9000）=0，
解得：x₁=-150，x₂=1800，
故对称轴：x=$\frac{-150+1800}{2}$=825，
∵开口向下，对称轴是x=825，而x是100的倍数，
∴当x=800时，w_最大值=（4×800+600）（-5×800+9000）=19000000，
∴当政府每亩补贴800元时，该地苗圃收益最大，最大值为19000000元．

（3）当x=800时，y=4x+600=4×800+600=3800（亩），
P=-5x+9000=-5×800+9000=5000（元），
由题意得：3800（30-a）%×[5000（1+3a%）-1000]=3990000，
整理得：3a²-10a-300=0，
△=（-10）²-4×3×（-300）=3700，
∴a=$\frac{10±\sqrt{3700}}{2×3}$，
∴a≈11.8=12，a₂=$\frac{10-10\sqrt{37}}{6}$（舍去），
答：a的值约为12．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确表示出变化后的土地面积与树苗每亩收益是解题关键．