Question

7．如图，等边△ABC中，AB=8，点D、E分别为AB、AC的中点，点M为射线BC上一动点，以DM为一边作等边△DMN．∠DAN=150°，DN交AE于F，线段NF的长为$\frac{2\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 连接DE，EM，CD，由已知条件得到△ADE是等边三角形，推出△ADN≌△CMD，由全等三角形的性质得到∠DEM=∠DAN=150°，AN=EM，得到∠CEM=30°，由三角形的外角的性质得到∠ACB=∠EM+∠CME=60°，得到CE=CM，推出四边形DCME是平行四边形，根据平行四边形的性质得到CD=EM，等量代换得到CD=AN根据全等三角形的性质得到EN=BC=8，∠AEN=∠B=60°，根据勾股定理列方程得到MN=4$\sqrt{7}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{DF}{FN}$=$\frac{AD}{EN}$=$\frac{1}{2}$，即可得到结论．

解答 解：连接DE，EM，CD，
∵等边△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，
∴△ADE是等边三角形，
∴ADE=60°，
∵△NDM是等边三角形，
∴∠NDM=60°，
∴∠ADN=∠EDM，
在△ADN与△CMD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADN=∠EDM}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△CMD，
∴∠DEM=∠DAN=150°，AN=EM，
∴∠CEM=30°，
∵∠ACB=∠EM+∠CME=60°，
∴∠CME=∠CEM=30°，
∴CE=CM，
∴DE=CM，
∵DE∥CM，
∴四边形DCME是平行四边形，
∴CD=EM，
∴CD=AN
∵∠DAN=150°，∠BAC=60°，
∴∠EAN=90°，
在△CBD与△NEA中$\left\{\begin{array}{l}{CD=AN}\\{∠BDC=∠EAN=90°}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△NEA，
∴EN=BC=8，∠AEN=∠B=60°，
∴∠NEM=90°，
∴MN²=EN²+EM²=BC²+CD²=8²+（4$\sqrt{3}$）²
∴MN=4$\sqrt{7}$，
∴DN=4$\sqrt{7}$，
∵∠DAE=∠AEN=60°，
∴AD∥EN，
∴△ADF∽△EFN，
∴$\frac{DF}{FN}$=$\frac{AD}{EN}$=$\frac{1}{2}$，
∴NF=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，相似三角形，等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．