Question

【题目】如图，，是、的角平分线交点，是、外角平分线交点，则______，_____，联结，则______，点____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线上．

Answer 1

【答案】116 64 26 在

【解析】

∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）, ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），据此可求∠BOC的度数；

∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，据此可求∠BPC的度数；

作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH，于是可证得AP平分∠BAC，据此可求∠PAB的度数；

同理可证OA平分∠BAC，故点在直线上．

解：∵O点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）

= （180°-∠A）

=90°- ∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）

=180°-90°+ ∠A

=90°+ ∠A

=90°+26°

=116°；

如图，

∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，
∴∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），

∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得：
∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
=180°- img src="https://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/27/11/a71e7e8e/SYS202011271140551445817129_DA/SYS202011271140551445817129_DA.001.png" width="16" height="41" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />（∠A+180°）
=90°- ∠A

=90°-26°

=64°．

如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，

∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，

∴PG=PK，PK=PH，

∴PG=PH，

∴AP平分∠BAC，

∴26°

同理可证OA平分∠BAC，

点在直线上．

故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.