Question

17．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求B的坐标；
（2）当点P运动到点（t，0）时，试用含t的式子表示点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，若存在，请求出符合条件的点P的坐标（直接写出结果即可）

Answer 1

分析 （1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
（3）分三种情况进行讨论：
①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时；
②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时；即-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t≤0时
③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$时．
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．

解答 解：（1）如图1，

过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．
由已知得：BF=OE=2，
∴OF=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标是（2$\sqrt{3}$，2）．
设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），
则有$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4，
（2）∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP．
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO．
∴∠DAP=∠BAO=60°．
∴△ADP是等边三角形．
如图2，

过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，
∴BG=BD•cos60°=t×$\frac{1}{2}$=$\frac{t}{2}$．DG=BD•sin60°=$\frac{3}{2}$t．
∴OH=EG=2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t，DH=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
∴点D的坐标为（2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t，2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）．
（3）存在．
假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如答图2，BD=OP=t，DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴DH=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
∵△OPD的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$t（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴t₁=$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，t₂=$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$（舍去）．
∴点P₁的坐标为（$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0）．
②∵当D在x轴上时，如图3，

根据锐角三角函数求出BD=OP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴当-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t≤0时，如答图1，BD=OP=-t，DG=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴GH=BF=2-（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
∵△OPD的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴-$\frac{1}{2}$t（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴t₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，t₂=-$\sqrt{3}$
∴点P₂的坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），点P₃的坐标为（-$\sqrt{3}$，0）．
③当t≤-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$时，BD=OP=-t，DG=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴DH=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-2．
∵△OPD的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$（-t）（-2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴t₁=$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，t₂=$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$（舍去）．
∴点P₄的坐标为（$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0）．
综上所述，点P的坐标分别为P₁（$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0），P₂（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），P₃（-$\sqrt{3}$，0），P₄（$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0）．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数的意义，分类思想，解本题的关键是锐角三角函数的应用．