Question

17．设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=$\frac{2016}{x}$是闭区间[1，2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数y=$\frac{2016}{x}$的单调区间进行判断；
（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组$\left\{\begin{array}{l}{km+b=m}\\{kn+b=n}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{km+b=n}\\{kn+b=m}\end{array}\right.$，通过解该方程组即可求得系数k、b的值．

解答 解：（1）是；
由函数$y=\frac{2014}{x}$的图象可知，当1≤x≤2014时，函数值y随着自变量x的增大而减少，而当x=1时，y=2014；x=2014时，y=1，故也有1≤y≤2014，
所以，函数$y=\frac{2014}{x}$是闭区间[1，2014]上的“闭函数”．

（2）因为一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：
①当k＞0时，$\left\{\begin{array}{l}km+b=m\\ kn+b=n\end{array}\right.（{m≠n}）$，
解之得k=1，b=0．
∴一次函数的解析式为y=x． 
②当k＜0时，$\left\{\begin{array}{l}km+b=n\\ kn+b=m\end{array}\right.（{m≠n}）$，解之得k=-1，b=m+n．
∴一次函数的解析式为y=-x+m+n．  
故一次函数的解析式为y=x或y=-x+m+n．

点评 本题考查了一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．