Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上任意一点，且CD切⊙O于点D．
【小题1】试求∠AED的度数．
【小题2】若⊙O的半径为cm，试求：△ADE面积的最大值．

Answer 1

【小题1】45° 或135  
【小题2】

解析考点：切线的性质；三角形的面积；平行四边形的性质。
分析：
（1）利用平行四边形的性质以及切线的性质和圆周角定理求出即可；
（2）利用当三角形高度最大时面积最大，求出EF的长即可得出答案．
解答：
（1）连接DO，DB，

∵四边形ABCD是平行四边形，CD切⊙O于点D。
∴DO⊥DC，
∴∠DBA=45°，
∵∠DBA=∠E，
∴∠E=45°，
当E′点在如图所示位置，即可得出∠AE′D=180°-45°=135°，
∴∠AED的度数为45 °或135°。
（2）当∠AED=45°，且E在AD垂直平分线上时，△ADE的面积最大。
∵∠AED=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，∠ADB=90°，
∵⊙O的半径为3cm，
∴AB=6cm，
∴AD=DB=6，
AF=FO=3，
∴S_△ADE=1/2×AD×（FO+EO）=1/2×6×（3+3）=（9+9）cm ²。
点评：此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理和平行四边形的性质，根据已知得出E在AD垂直平分线上时，△ADE的面积最大是解题关键。