Question

10．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F，设BE=x，△ECF的面积为y，下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 过F作FG⊥BC于G，求出FG=CG，求出△BAE∽△GEF，得出$\frac{AB}{EG}$=$\frac{BE}{FG}$，求出FG=x，代入y=$\frac{1}{2}$×CE×FG求出解析式，根据解析式确定图象即可．

解答 解：过F作FG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG=$\frac{1}{2}$∠DCG=45°，
∵∠G=90°，
∴∠GCF=∠CFG=45°，
∴FG=CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，
∴△BAE∽△GEF，
∴$\frac{AB}{EG}$=$\frac{BE}{FG}$，
∵BE=x，
∴EG=BC-BE+CG=4-x+FG，
∴$\frac{4}{4-x+FG}$=$\frac{x}{FG}$，
解得：FG=x，
∴y=$\frac{1}{2}$×CE×FG=$\frac{1}{2}$×（4-x）•x，
即：y=2x-$\frac{1}{2}$x²，
故选C．

点评 本题考查了动点问题的函数图象、正方形性质、角平分线定义、三角形面积的计算、相似三角形的性质和判定的应用等知识，能用x的代数式把CE和FG的值表示出来是解决问题的关键．