如图.直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A．B点.点M是线段AB上任意一点.过M分别作MC⊥OA于点C.MD⊥OB于D．(1)当点M在AB上运动时.同学小王认为四边形OCMD的周长是在某个范围内发生变化.同学小李认为四边形OCMD的周长是没有发生变化的固定值．如果赞同小王请在空格上写出范围.赞同小李写出固定值．(2)设点M的横坐标为x.四边形OCMD的面积为S.求S关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A．B点，点M是线段AB上任意一点（A．B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．
（1）当点M在AB上运动时，同学小王认为四边形OCMD的周长是在某个范围内发生变化，同学小李认为四边形OCMD的周长是没有发生变化的固定值．如果赞同小王请在空格上写出范围，赞同小李写出固定值．
（2）设点M的横坐标为x，四边形OCMD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当点M运动到什么位置时，S可以取到最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动（M离开线段AB），设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并在坐标系中画出该函数的草图（示意图）．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据图象上点的坐标满足函数解析式，可得x+y=4，根据矩形的周长公式，可得答案；
（2）根据矩形的对边平行可得DM∥OA，然后证明△BDM与△BOA相似，根据相似三角形对应边成比例列式，再用OD表示出BD，求解得到OD的长度，再根据矩形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）先根据（2）的结论求出正方形的边长，从而得到正方形的面积，在分①0＜a≤2时，正方形在△AOB内部，重叠部分的面积等于正方形的面积减去右上角小等腰直角三角形的面积，列式整理即可得到S与a的函数关系式，②当2≤a＜4时，重叠部分是左下角小等腰直角三角形的面积，然后列式整理即可得到S与a的关系式，然后根据取值范围画出相应的二次函数图象即可．

解答：解：（1）是固定值8，
由y=-x+4，
∴x+y=4，
四边形OCMD的周长是2（x+y）=8；

（2）∵MC⊥OA，MD⊥OB，x轴⊥y轴，
∴四边形OCMD是矩形，
∴DM∥OA，
∴△BDM∽△BOA，
∴

，
即

4-OD

，
解得OD=4-x，
∴S=x（4-x）=-x²+4x，
所以，S与x的函数关系式为：S=-x²+4x（0＜x＜4），
∵S=-x²+4x=-（x²-4x+4）+4=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，S有最大值4，
此时M是AB的中点，
故点M运动到AB的中点位置时，四边形OCMD的面积有最大值4；

（3）如图，∵直线AB的解析式为y=-x+4，
∴移动过程中正方形被分割出的三角形式等腰直角三角形，
由（2）可得，四边形OCMD为正方形时，4-x=x，
解得x=2，
所以，正方形的面积为：2²=4，
①当0＜a≤2时，重叠部分的面积=4-

a²，
②当2≤a＜4时，重叠部分的面积=

（4-a）（4-a）=

（4-a）²，
所以，S与a的函数关系式为S=

a2+4 (0＜a≤2)

(a-4)2 (2＜a＜4)

，
函数图象如图：