Question

如图，直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据函数解析式，可求出直线与坐标轴的交点，根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）两直角三角形相似，又有一个公共角，故只需另一个角为直角即可得到相似，故分两种情况讨论，可得答案．

解答：解：（1）直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（3，0），B（0，3）．
抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C（1，0）三点

0=9a+3b+c    ① 3=c    ② 0=a+b+c   ③

解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；
（2）①如图1，作PD垂直x轴于点D：
∵△ABO与△ADP相似
∴

PD

BO

=

AD

AO

PD

3

=

3-(-1)

3

PD=4，
∴P点坐标是（-1，4）．
②如图2，作P′D垂直AB于点P′交y轴于点F：
∵△ABO与△ADP相似
∴∠P′DA=∠BAO=45°，
∴

AD

P′D

=

2

1

，
∴P′D=2

2

，
∵DF=

2

，
∴

DO

DC

=

DF

DP′

=

1

2

∴P′C∥OF
∴P′C=CD=2
∴P点坐标为（1，2）

点评：本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，相似三角形的对应边成比例．