Question

12．如图，已知斜坡AP的坡度为i=1：$\sqrt{3}$，坡长AP为20m，与坡顶A处在同-水平面上有-座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角α且tanα=3．求：
（1）求坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）作AE⊥PQ于点E，设AE为xm，根据坡度的概念用x表示出PE，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）延长BC交PQ于点F，设AC=ym，根据正切的定义表示出BC，根据直角三角形的性质得到BF=PF，列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）作AE⊥PQ于点E，
∵斜坡AP的坡度为i=1：$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
设AE为xm，则PE为$\sqrt{3}$xm，
由勾股定理得，AP=2x，
由题意得2x=20，
解得，x=10，
则AE=10m，PE=10$\sqrt{3}$m，
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m；
（2）延长BC交PQ于点F，
设AC=ym，
∵tanα=3，
∴BC=3y，
∵∠BPF=45°，
∴PF=BF，
∴10$\sqrt{3}$+y=3y+10，
解得y=5$\sqrt{3}$-5，
则BC=3y=15$\sqrt{3}$-15．
答：古塔BC的高度为（15$\sqrt{3}$-15）m．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题、仰角俯角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比、理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．