Question

4．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D与B重合，折痕为EF，然后展开，连接DF，BE．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）已知AB=3，AD=9，求折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AD∥BC，∠DEF=∠BFE，由折叠的性质得出BE=DE，∠BEF=∠DEF，证出∠BEF=∠BFE，得出BE=BF，因此DE=BF，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出BF=BE=DE，设BE=x，则BF=DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BF=5，AE=4，作EM⊥BC于M，则EM=AB=3，BM=AE=4，得出MF=BF-BM=1，再由勾股定理求出EF即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折叠的性质得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BE=DE，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形EBFD是菱形，
∴BF=BE，
设BE=x，则BF=DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，
则3²+（9-x）²=x²，
解得：x=5．
∴BF=BE=5，AE=4，
作EM⊥BC于M，
如图所示，则EM=AB=3，BM=AE=4，
∴MF=BF-BM=1，
∴EF=$\sqrt{E{M}^{2}+M{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．