Question

3．如图，有大小两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切，若AB=8，则圆环（阴影部分）的面积是16π．（不取近似值）

Answer 1

分析 设AB于小圆切于点C，连接OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²），以及勾股定理即可求解．

解答 解：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．
∵AB于小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²）
又∵直角△OBC中，OB²=OC²+BC²
∴圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²）=π•BC²=16π．
故答案是：16π．

点评 本题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系．