Question

如图，在等边△ABC中，BD=CE，BE交AD于点F．若BF=3，AF=4，则CF=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：延长FE至点G，使FG=AF，连接AG、CG，作FH⊥CG于H，先证△ABD≌△BCE，得出∠BAD=∠CBE，再证明△AFG是等边三角形，得出FG=4，然后证明△ACG≌△ABF，得出CG=BF=3，∠FGC=60°，求出GH=

1

2

FG=2，FH=2

3

，CH=CG-GH=1，即可求出CF=

13

．

解答：解：延长FE至点G，使FG=AF，连接AG、CG，作FH⊥CG于H，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，AB=BC，
在△ABD和△BCE中，

AB=BC   ∠ABC=∠BCA   BD=CE

∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=60°，
∵FG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴FG=AF=AG=4，∠FAG=∠AGF=60°，
∴∠CAG=∠BAF，
∴△ACG≌△ABF（SAS），
∴CG=BF=3，
∵∠CAG+∠ACG=∠BAD+∠ABF=60°，
∴∠AGC=120°，
∴∠FGC=60°，
∵FH⊥CG，
∴∠GFH=30°，
∴GH=

1

2

FG=2，FH=2

3

，
∴CH=CG-GH=1，
∴CF²=CH²+FH²=12+(2

3

)2=13，
∴CF=

13

；
故答案为：

13

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质与判定以及勾股定理的运用；本题难度较大，通过作辅助线构造等边三角形，证明三角形全等是解题的关键．