Question

15．如图，直角三角形ABC中，AB=4，AC=5，BC=3，D、E分别为AB和BC边上的动点，是否存在某一特殊位置使得线段DE既平分△ABC的面积又平分△ABC的周长．

Answer 1

分析 △ABC的面积=$\frac{1}{2}$×3×4=6，设BE为x，由线段DE平分△ABC的面积得出BD=$\frac{6}{x}$，根据平分△ABC的周长建立方程求得方程的解即可．

解答 解：存在某一特殊位置使得线段DE既平分△ABC的面积又平分△ABC的周长．
理由：△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
设BE为x，由题意得
x+$\frac{6}{x}$=$\frac{1}{2}$×（3+4+5）
解得：x₁=3+$\sqrt{3}$（BC=3，不合题意，舍去），x₂=3-$\sqrt{3}$，
则BD=$\frac{6}{x}$=3+$\sqrt{3}$，
所以当DE=3-$\sqrt{3}$，BD=3+$\sqrt{3}$线段DE既平分△ABC的面积又平分△ABC的周长．

点评 此题考查一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积与周长计算方法是解决问题的关键．