Question

【题目】如图1．直线AD∥EF，点B，C分别在EF和AD上，∠A=∠ABC，BD平分∠CBF．

（1）求证：AB⊥BD；

（2）如图2，BG⊥AD于点G，求证：∠ACB=2∠ABG；

（3）在（2）的条件下，如图3，CH平分∠ACB交BG于点H，设∠ABG=α，请直接写出∠BHC的度数．（用含α的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BHC=90°+∠α.

【解析】

（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到AB⊥BD；

（2）根据BG⊥AD，AD∥EF，可得∠FBG=∠AGB=90°，进而可得∠ABG=∠DBF,根据EF∥AD，即可得到∠ACB=∠CBF=2∠DBF=2∠ABG；

（3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠ABG=∠D=∠α,再根据∠HGC=90°即可得到∠BHC=∠HGC+∠ACH=90°+∠α.

解：（1）∵AD∥EF,

∴∠ABE=∠A=∠ABC,

又∵BD平分∠CBF,

∴∠CBD=∠FBD,

∴∠ABD=（∠CBE+∠CBF）=×180°=90°,

∴AB⊥BD;

（2）∵BG⊥AG,

∴∠FBG=∠AGB=90°,

∵∠ABD=90°,

∴∠ABG=∠DBF,

∵EF∥AD,

∴∠ACB=∠CBF=2∠DBF=2∠ABG；

（3）∵ AD∥EF,

∴∠D=∠DBF,

∴∠ACB=2∠DBF=2∠D,

∴∠D=∠ACB,

∵CH平分∠ACB,

∴∠ACH=∠ACB,

∴∠ACH=∠D,

∵∠ABG=∠D=α,

∴∠ACH=α,

∵BG⊥GC,

∴∠HGC=90°,

∴∠BHC=∠HGC+∠ACH=90°+∠α.