Question

【题目】如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．

（Ⅰ）求证：OB⊥OC；

（Ⅱ）求CG的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）6.4cm

【解析】

（Ⅰ）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
（Ⅱ）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到CG的长.

解：（Ⅰ）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∴∠OBE+∠OCF＝90°，

∴∠BOC＝90°，

∴OB⊥OC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC＝90°．

∵OB＝6cm，OC＝8cm，

∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，

∴ 即

∴OF＝4.8cm．

∴ ＝6.4cm，

∵CF、CG分别与⊙O相切于F、G，

∴CG＝CF＝6.4cm．