Question

1．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于$\frac{1}{2}BF$长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF． 
（1）四边形ABEF是B
A．矩形  B．菱形   C．正方形    D．无法确定
（2）若四边形ABEF的周长为40，AE，BF相交于点O，且BF=10，试求
①∠ABC的度数；
②AE的长．

Answer 1

分析 （1）先根据四边形ABCD是平行四边形得出AD∥BC，再由AB=AF即可得出结论；
（2）①先根据菱形的周长求出其边长，再由BF=10得出△ABF是等边三角形，据此可得出结论；
②先根据勾股定理求出AO的长，再由菱形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
故答案为：B；

（2）①∵四边形ABEF是菱形，且周长为40，
∴AB=AF=40÷4=10．
∵BF=10，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∴∠ABC=2∠ABF=120°；
②∵AF=10，
∴OF=5．
∵AE垂直平分BF，
∴AO=$\sqrt{A{F}^{2}-F{O}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∴AE=2AO=10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法及菱形的性质是解答此题的关键．