Question

19．如图．矩形OABC的边OA，OC在坐标轴上，顶点B在第一象限，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2．求k的值．

Answer 1

分析 设B点坐标为（a，b），由矩形OABC的边AB的中点为F，则F点的坐标为（a，$\frac{b}{2}$），根据反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）系数k的几何意义得到S_△OAF=S_△OEC=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{1}{2}$a•$\frac{b}{2}$，则ab=2k，然后利用S矩形=S_{四边形OEBF}+S_△OAF+S_△OEC得到ab=2+$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k，所以2k=k+2，再解一次方程即可．

解答 解：设B点坐标为（a，b），
∵矩形OABC的边AB的中点为F，
∴F点的坐标为（a，$\frac{b}{2}$），
∴S_△OAF=S_△OEC=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{1}{2}$a•$\frac{b}{2}$，
∴ab=2k，
∵S矩形=S_{四边形OEBF}+S_△OAF+S_△OEC，
∴ab=2+$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k，
∴2k=k+2，
∴k=2．

点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．