Question

19．已知：正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，边AB的延长线上，且DE=BF．
（1）如图1，连接CE，CF，EF，请判断△CEF的形状；
（2）如图2，连接EF交BD于M，当DE=2时，求AM的长；
（3）如图3，点G，H分别在边AB，边CD上，且GH=3$\sqrt{5}$，当EF与GH的夹角为45°时，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）△CEF是等腰直角三角形；证明△FBC≌△EDC即可得出结论，注意不要忽略直角；
（2）过E作EN∥AB，证明△FBM≌△ENM可知FM=EM，则AM是直角△AEF斜边上的中线，要想求AM的长，求斜边EF的长即可，利用勾股定理求EF；
（3）连接EC和FC，证明四边形FCHG是平行四边形，得出FC=GH=3$\sqrt{5}$，利用勾股定理求BF，则就是DE的长．

解答 解：（1）如图1，△CEF是等腰直角三角形，理由是：
在正方形ABCD中，BC=DC，∠FBC=∠D=90°，
∵BF=DE，
∴△FBC≌△EDC，
∴CF=CE，∠ECD=∠FCB，
∴∠ECF=∠ECB+∠FCB=∠ECB+∠ECD=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，过E作EN∥AB，交BD于N，则EN=ED=2，
∵BN∥AD，
∴∠F=∠MEN，
∵∠BMN=∠EMN，
∴△FBM≌△ENM，
∴EM=FM，
在Rt△EAF中，EF=$\sqrt{{4}^{2}+（6+2）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{5}$；
（3）如图3，连接EC和FC，
由（1）得∠EFC=45°，
∵∠EMH=45°，
∴∠EFC=∠EMH，
∴GH∥FC，
∵AF∥DC，
∴四边形FCHG是平行四边形，
∴FC=GH=3$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：BF=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}$=3，
∴DE=BF=3．

点评 本题是四边形综合题，考查了正方形和平行四边形、等腰直角三角形的判定和性质，通过作辅助线构建全等三角形得出边相等和角相等，因此本题辅助线的作法是关键；故在几何证明中，恰当的作辅助线可以把四边形的问题转化为三角形的问题，使问题得以解决．