Question

【题目】已知，△ABC内接于圆O，弦CD⊥AB交AB于E，AF⊥BC于点F，AF交CD于点G．

(1)如图①，求证：DE＝EG；

(2)如图②，连接OG，连接DA并延长至点P，连接CP，点P在CG的垂直平分线上，若AP＝2AG，求证：OG∥AB；

(3)如图③，在(2)的条件下，过点D作DK⊥AF于点K，若∠PAC＝∠DAF，KG＝，求线段CG的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)GC=2.

【解析】

(1)连接AD，由余角的性质可得∠ABC＝∠FGC，可得∠D＝∠AGD，由等腰三角形的性质可得DE＝EG；

(2)连接PG，过点P作PH⊥DC于点H，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得GH＝HC，由平行四边形的性质可得＝，可得EH＝2DE，可得GH＝DE＝EG＝HC，由垂径定理可得OG⊥CD，即可证OG∥AB；

(3)过点C作CN∥AD交AF的延长线于点N，连接PN交CD于点H，连接EN，通过证明△ADG≌△NCG，可得AD＝AG＝GN＝CN，通过证明△DKG≌△CFG，可得KG＝GF＝，FC＝DK，由勾股定理可求CN＝＝AD＝AG＝GN，即可求CG的长．

证明：(1)连接AD

∵CD⊥AB，AF⊥BC

∴∠ABC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FGC＝90°

∴∠ABC＝∠FGC，

∵∠D＝∠ABC，∠FGC＝∠AGD

∴∠D＝∠AGD

∴AD＝AG，且AE⊥CD

∴DE＝EG，

(2)如图，连接PG，过点P作PH⊥DC于点H，

∵点P在CG的垂直平分线上，

∴PG＝PC，且PH⊥DC

∴GH＝HC

∵AB⊥CD，PH⊥CD

∴AB∥PH

∴

∵AP＝2AG，AD＝AG

∴AP＝2AD

∴=

∴EH＝2DE

∵EH＝EG+GH＝2DE，且DE＝EG

∴GH＝DE＝EG，且GH＝HC

∴GH＝DE＝EG＝HC

∴DG＝GC，OG过圆心O

∴OG⊥CD，且AB⊥CD

∴OG∥AB

(3)如图，过点C作CN∥AD交AF的延长线于点N，连接PN交CD于点H，连接EN，

∵CN∥AD

∴∠DAN＝∠ANC，∠ADC＝∠DCN，且DG＝CG

∴△ADG≌△NCG(AAS)

∴AD＝NC，AG＝AN，且AD＝AG

∴AD＝AG＝GN＝CN

∵AD∥CN

∴∠PAC＝∠ACN，且∠DAN＝∠ANC，∠PAC＝∠DAN

∴∠ANC＝∠ACN

∴AN＝AC

∵∠DKG＝∠GFC，∠DGK＝∠CGF，DG＝GC

∴△DKG≌△CFG(AAS)

∴KG＝GF＝，FC＝DK

∵FC2＝CN2﹣NF2＝AC2﹣AF2，

∴CN2﹣(CN﹣)2＝(2CN)2﹣(CN+)2，

∴CN＝＝AD＝AG＝GN

∴NF＝CN﹣＝

∴FC＝＝5，

∴GC＝＝2