如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=6.BC=8．动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动.点P在AC.CB.BA边上运动的速度分别为每秒3.4.5个单位．直线l从与AC重合的位置开始.以每秒$\frac{4}{3}$个单位的速度沿CB方向移动.移动过程中保持l∥AC.且分别与CB.AB边交于E.F两点.点P与直线l同时出发.设运动的时间为t秒.当点P第� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒$\frac{4}{3}$个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．
（1）当t=5秒时，点P走过的路径长为19；当t=3秒时，点P与点E重合；
（2）当点P在AC边上运动时，连结PE，并过点E作AB的垂线，垂足为H．若以C、P、E为顶点的三角形与△EFH相似，试求线段EH的值；
（3）当点P在折线AC-CB-BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点Q．在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值．

分析（1）由题意可知点P从A到C需要2秒，从C到B需要2秒，从而可求得t=5时，点P运动的路程，点P与点重合，则点P运动的距离-点E运动的距离=AC，从而可求得点t=3；
（2）由l∥AC可知∠A=∠EFH，故tan∠EFH=$\frac{4}{3}$，由相似三角形的性质可知$\frac{PC}{EC}=\frac{3}{4}$或$\frac{PC}{EC}=\frac{4}{3}$，从而求得t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{54}{43}$，然后由t的值可求得CE的长，从而可求得BE的长，最后在Rt△EHB中由EH=EB×$\frac{3}{5}$可求得EH的长；
（3）当点P在AC上时，连结PQ．由菱形的性质可知PQ垂直平分EF，从而得到EF=2CP，由题意可知PC=6-3t，在△EFB中，tan∠B=$\frac{3}{4}$，于是可求得EF=$\frac{3}{4}$BE=$\frac{3}{4}×（8-\frac{4}{3}t）$，可求得t=$\frac{6}{5}$＜2，符合题意；当点P在CB上运动时，点P、Q、E在一条直线上，点P、Q、E、F不能构成四边形；当点P在BA上运动时，由菱形的性质可知PE=PF，然后根据等角的余角相等可知PB=PE，故此可知BF=2BP，由题意可知PB=5（t-4）在Rt△EFB中，FB=$\frac{5}{4}EB$=$\frac{5}{4}$（8-$\frac{4}{3}t$），故此可解得t=$\frac{30}{7}$．

解答解：（1）∵AC=6，点P在AC上运动的速度为每秒3个单位，
∴6÷3=2秒．
∵BC=8，点P在CB上运动的速度为每秒4个单位，
∴8÷4=2秒．
当t=5秒时，点P运动的路程=6+8+5=19．
当运动时间为t秒时，点P与点E重合．
根据题意得：4（t-2）=$\frac{4}{3}t$．
解得：t=3．
故答案为：19；3．
（2）∵l∥AC，
∴∠A=∠EFH．
∴tan∠EFH=tan∠A=$\frac{4}{3}$．
∵△CPE∽EFH，
∴$\frac{PC}{EC}=\frac{3}{4}$或$\frac{PC}{EC}=\frac{4}{3}$
∵CP=6-3t，CE=$\frac{4}{3}$t，
∴$\frac{6-3t}{\frac{4}{3}t}$=$\frac{3}{4}$或$\frac{6-3t}{\frac{4}{3}t}$=$\frac{4}{3}$．
解得：t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{54}{43}$．
∵当t=$\frac{3}{2}$时，CE=$\frac{4}{3}t$=$\frac{4}{3}×\frac{3}{2}$=2．
∴BE=BC-EC=8-2=6．
在Rt△EHB中，EH=EB×$\frac{3}{5}$=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$．
∴EH=$\frac{18}{5}$．
∵当t=$\frac{54}{43}$时，EC=$\frac{4}{3}t$=$\frac{4}{3}×\frac{54}{43}$=$\frac{72}{43}$，
∴EB=8-$\frac{72}{43}$=$\frac{272}{43}$．
在Rt△EHB中，EH=EB×$\frac{3}{5}$=$\frac{72}{43}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{816}{215}$．
∴EH=$\frac{816}{215}$．
（3）如图1所示：当点P在AC上时，连结PQ．

∵四边形PEQF为菱形，
∴PQ垂直平分EF．
∴∠EOP=90°．
∵l∥AC，∠C=90°，
∴∠CEO=90°
∵∠C=∠CEO=∠EOP=90°，
∴四边形CEQP为矩形．
∴PC=EO．
∴EF=2CP．
∵CE=$\frac{4}{3}t$，
∴EB=8-$\frac{4}{3}t$．
∵在△EFB中，tan∠B=$\frac{3}{4}$，
∴EF=$\frac{3}{4}$BE=$\frac{3}{4}×（8-\frac{4}{3}t）$．
∵AP=3t，AC=6，
∴PC=6-3t．
∴$\frac{3}{4}$（8-$\frac{4}{3}$t）=2（6-3t）．
解得t=$\frac{6}{5}$＜2，符合题意．
当点 P在CB上运动时，点P、Q、E在一条直线上，点P、Q、E、F不能构成四边形．
如图2所示：当点 P在BA上运动时．

∵四边形PEQF为菱形，
∴PE=PF．
∴∠PFE=∠PEF．
∵∠EFP+∠B=90°，∠FEP+∠PEB=90°，
∴∠PEB=∠PBE．
∴PB=PE．
∴BF=2BP．
∵CE=$\frac{4}{3}t$，BC=8，
∴BE=8-$\frac{4}{3}t$．
在Rt△EFB中，FB=$\frac{5}{4}EB$=$\frac{5}{4}$（8-$\frac{4}{3}t$）．
由题意可知：PB=5（t-4）．
∴$\frac{5}{4}$（8-$\frac{4}{3}$t）=2×5（t-4），
解得t=$\frac{30}{7}$．
综上所述，当t=$\frac{6}{5}$秒或t=$\frac{30}{7}$秒时，四边形PEQF为菱形．