Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A-B--C--E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B--C--E--D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm²，（这里规定：线段是面积为0的三角形）
解答下列问题：
（1）当x=2s时，y=______cm²；当x=s时，y=______cm²．
（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．
（3）当动点P在线段BC上运动时，求出S_梯形ABCD时x的值．
（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可以求出y的值，当x=s时，三角形PAQ的高就是4，底为4.5，由三角形的面积公式可以求出其解．
（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．要分为三种不同的情况进行表示：当5≤x≤9时，当9＜x≤13时，当13＜x≤14时．
（3）可以由已知条件求出S_梯形ABCD，然后根据条件求出y值，代入当5≤x≤9时的解析式就可以求出x的值．
（4）利用相似三角形的性质，相似三角形的对应线段成比例就可以求出对应的x的值．
解答：解：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2
∴y==2
当x=s时，AP=4.5，Q点在EC上
∴y==9
故答案为：2；9

（2）当5≤x≤9时
y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=（5+x-4）×4×5（x-5）（9-x）（x-4）
y=x²-7x+
当9＜x≤13时
y=（x-9+4）（14-x）
y=-x²+x-35
当13＜x≤14时
y=×8（14-x）
y=-4x+56；

（3）当动点P在线段BC上运动时，
∵S_梯形ABCD=×（4+8）×5=8
∴8=x²-7x+，即x²-14x+49=0，解得：x₁=x₂=7
∴当x=7时，S_梯形ABCD

（4）设运动时间为x秒，
当PQ∥AC时，BP=5-x，BQ=x，
此时△BPQ∽△BAC，
故=，即=，
解得x=；
当PQ∥BE时，PC=9-x，QC=x-4，
此时△PCQ∽△BCE，
故=，即=，
解得x=；
当PQ∥BE时，EP=14-x，EQ=x-9，
此时△PEQ∽△BAE，
故=，即=，
解得x=．
由题意得x的值为：x=、或．
点评：本题考查了用函数关系式表示变化过程中三角形的面积，相似三角形的判定及性质，梯形的面积等多个知识点．是一道分段函数试题，难度较大．