Question

已知直线MN切⊙O于点A，AB，AC是弦，∠BAM=30°，∠CAN=45°，则AB是⊙O的内接正

 

边形的一条边，AC是⊙O的内接正

 

边形的一条边．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：连接OB、OC、OA，根据切线的性质得出∠OAM=∠OAN=90°，求出∠OAB=60°，∠OAC=45°，求出∠B=∠OAB=60°，∠C=∠OAC=45°，求出∠BOA=60°，∠COA=90°，即可求出多边形的边数．

解答：解：如图：

连接OB、OC、OA，
∵直线MN切⊙O于A，
∴∠OAM=∠OAN=90°，
∵∠BAM=30°，∠CAN=45°，
∴∠OAB=60°，∠OAC=45°，
∵OB=OA，OA=OC，
∴∠B=∠OAB=60°，∠C=∠OAC=45°，
∴∠BOA=180°-60°-60°=60°，∠COA=180°-45°-45°=90°，
∵360°÷60°=6，360°÷90°=4，
∴AB是⊙O的内接正6边形的一条边，AC是⊙O的内接正4边形的一条边，
故答案为：6，4．

点评：本题考查了正多边形和圆，切线的性质的应用，解此题的关键是求出∠AOB和∠AOC的度数，题目比较好，难度适中．