题目内容
如图，在△ABC中，点B，C是x轴上的两个定点，∠ACB=90°，AC=BC，点A（1，3），点P是x轴上的一个动点，点E是AB的中点，在△PEF中，∠PEF=90°，PE=EF．
（1）如图1，当点P与坐标原点重合时，
①求证：△PCE≌△FBE；
②求点F的坐标；
（2）如图2，当点P在线段CB上时，求证：S△CPE=S△AEF；
（3）如图3，当点P在线段CB的延长线时，若S△AEF=4S△PBE，则此刻点F的坐标为 ．
（1）如图1，当点P与坐标原点重合时，
①求证：△PCE≌△FBE；
②求点F的坐标；
（2）如图2，当点P在线段CB上时，求证：S△CPE=S△AEF；
（3）如图3，当点P在线段CB的延长线时，若S△AEF=4S△PBE，则此刻点F的坐标为
考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质
专题：
分析：（1）连接CE，①易证∠PEC=∠FEB，即可证明△PCE≌△FBE；
②根据（1）中结论可得BF=OC=1，即可解题；
（2）易证∠CEP+∠AEF=180°，可得sin∠CEP=sin∠AEF，即可求得S△CPE=S△AEF；
（3）连接CE，易证∠FEC=∠BEP，即可证明△FCE≌△PBE，可得S△CFE=S△BEP，即可求得AF=4CF，即可解题．
②根据（1）中结论可得BF=OC=1，即可解题；
（2）易证∠CEP+∠AEF=180°，可得sin∠CEP=sin∠AEF，即可求得S△CPE=S△AEF；
（3）连接CE，易证∠FEC=∠BEP，即可证明△FCE≌△PBE，可得S△CFE=S△BEP，即可求得AF=4CF，即可解题．
解答：解：（1）连接CE，
①证明：∵∠PEC+∠CEF=90°，∠FEB+∠CEF=90°，
∴∠PEC=∠FEB，
在△PCE和△FBE中，
，
∴△PCE≌△FBE（SAS）；
②解：∵△PCE≌△FBE，
∴BF=OC=1，
∴点F坐标（4，-1）；
（2）证明：∵E是AB中点，
∴AE=CE，∠AEC=90°，
∵∠AEC=∠PEF=90°，
∴∠CEP+∠AEF=180°，
∴sin∠CEP=sin∠AEF，
∵S△CPE=
CE•PE•sin∠CEP，S△AEF=
AE•EF•sin∠AEF，
∴S△CPE=S△AEF；
（3）证明：连接CE，
∵∠FEC+∠BEF=90°，∠BEF+∠BEP=90°，
∴∠FEC=∠BEP，
在△FCE和△PBE中，
，
∴△FCE≌△PBE（SAS）；
∴S△CFE=S△BEP，
∵S△AEF=4S△PBE，
∴AF=4CF，
∴CF=1，
∴点F坐标为（1，-1），
故答案为（1，-1）．
①证明：∵∠PEC+∠CEF=90°，∠FEB+∠CEF=90°，
∴∠PEC=∠FEB，
在△PCE和△FBE中，
|
∴△PCE≌△FBE（SAS）；
②解：∵△PCE≌△FBE，
∴BF=OC=1，
∴点F坐标（4，-1）；
（2）证明：∵E是AB中点，
∴AE=CE，∠AEC=90°，
∵∠AEC=∠PEF=90°，
∴∠CEP+∠AEF=180°，
∴sin∠CEP=sin∠AEF，
∵S△CPE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S△CPE=S△AEF；
（3）证明：连接CE，
∵∠FEC+∠BEF=90°，∠BEF+∠BEP=90°，
∴∠FEC=∠BEP，
在△FCE和△PBE中，
|
∴△FCE≌△PBE（SAS）；
∴S△CFE=S△BEP，
∵S△AEF=4S△PBE，
∴AF=4CF，
∴CF=1，
∴点F坐标为（1，-1），
故答案为（1，-1）．
点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形面积相等的性质，本题中求证△PCE≌△FBE和△FCE≌△PBE是解题的关键．
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，
，
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| ||
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