Question

3．如图，过?ABCD的对角线AC上任一点P作一直线，分别交AB、BC、CD、DA所在直线于E、F、G、H．求证：PE•PF=PG•PH．

Answer 1

分析 先利用平行四边形的性质得到CD∥AB，AD∥BC，则利用相似三角形的判定得到△PCG∽△PAE，△PCF∽△PAH，根据相似三角形的性质得$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PG}{PF}$，$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PF}{PH}$，利用等量代换得到$\frac{PG}{PF}$=$\frac{PF}{PH}$，然后根据比例的性质即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∵CG∥AE，
∴△PCG∽△PAE，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PG}{PF}$，
∵CF∥AH，
∴△PCF∽△PAH，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PF}{PH}$，
∴$\frac{PG}{PF}$=$\frac{PF}{PH}$，
∴PE•PF=PG•PH．

点评 本题考查了相似三角形的判定于性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要根据相似比表示线段之间的关系．