Question

17．已知如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF⊥AB交AC于点G，反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）经过线段DC的中点E，若BD=4，则AG的长为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$+2
• C． 2$\sqrt{3}$+1
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$+1

Answer 1

分析 过E作y轴和x的垂线EM，EN，证明四边形MENO是矩形，设E（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab=$\sqrt{3}$，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠DCO=30°，再根据菱形的性质可得∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=2$\sqrt{3}$，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长．

解答 解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，
设E（b，a），
∵反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）经过点E，
∴ab=$\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO=$\frac{1}{2}$BD=2，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴ME∥x，EN∥y，
∵E为CD的中点，
∴DO•CO=4$\sqrt{3}$，
∴CO=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠DCO=$\frac{DO}{CO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DCO=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=2$\sqrt{3}$，
∵DF⊥AB，
∴∠2=30°，
∴DG=AG，
设DG=r，则AG=r，GO=2$\sqrt{3}$-r，
∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠3=30°，
在Rt△DOG中，DG²=GO²+DO²，
∴r²=（2$\sqrt{3}$-r）²+2²，
解得：r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AG=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用，关键是掌握菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k．