Question

12．如图，△ABC是等腰直角三角形，点O是斜边BC的中点，点E在AC上，点D在AB上，∠DOE=45°．若BD=9，CE=8，求DE的长．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质得出AB=AC，∠A=90°，∠B=∠C=45°，BO=CO，由角的关系证出∠BDO=∠COE，得出△BDO∽△COE，得出对应边成比例求出BO，得出BC，再由等腰直角三角形的性质求出AB=AC=12，得出AD、AE的长，然后由勾股定理求出DE即可．

解答 解：连接DE，如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，点O是斜边BC的中点，
∴AB=AC，∠A=90°，∠B=∠C=45°，BO=CO，
∴∠DOB+∠BDO=135°，
∵∠DOE=45°，
∴∠DOB+∠COE=135°，
∴∠BDO=∠COE，
∴△BDO∽△COE，
∴$\frac{BD}{CO}=\frac{BO}{EC}$，即$\frac{9}{BO}=\frac{BO}{8}$，
解得：BO=6$\sqrt{2}$，
∴BC=2BO=12$\sqrt{2}$，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=12，
∴AD=AB-BD=3，AE=AC-EC=4，
∴DE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．