Question

根据下列条件求关于x的二次函数的解析式：
（1）当x=3时，y_最小值=-1，且图象过（0，7）；
（2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=

3

2

；
（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）；
（4）当x=1时，y=0；x=0时，y=-2，x=2时，y=3；
（5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）、（5）已知顶点坐标和图象上一点坐标，所以设二次函数解析式为顶点式方程：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常数，a≠0）；
（2）、（3）、（4）设二次函数解析式为一般式y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），借助于方程组求系数的值．

解答：解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）²+k，
将h=3，k=-1和点（0，7）代入得，
a（0-3）²-1=7，
解得a=

8

9

，
所以，该二次函数的解析式为：y=

8

9

（x-3）²-1；

（2）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），则

c=-2 a+b+c=2 - b 2a = 3 2

，
解得，

a=-2 b=6 c=-2

，
所以，该二次函数的解析式为：y=-2x²+6x-2；

（3）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），则

c=1 a+b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得，

a= 1 3 b=- 4 3 c=1

，
所以，该二次函数的解析式为：y=

1

3

x²-

4

3

x+1；

（4）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），则

a+b+c=0 c=-2 4a+2b+c=3

，
解得，

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

，
所以，该二次函数的解析式为：y=

1

2

x²+

3

2

x-2；

（5）设二次函数的解析式为：y=a（x+1）²-2，
将（1，10）代入得，
a（1+1）²-2=10，
解得a=5，
所以，该二次函数的解析式为：y=6（x+1）²-2．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．