Question

13．已知，如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D，交AC于E，求证：BE═2AD．
分析与提示：在△AED与△BEC中，∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC，由此得到∠EAD=∠EBC′，又AC=BC．能否构造与△BCE全等的三角形呢？
完成证明：

Answer 1

分析 由BD⊥AD且BD平分∠ABC 证得AD=FD，再根据∠FAC+∠AED=90°，∠CBE+∠CEB=90°，进一步求得△AFC≌△BEC，则得AF=BE，从而得到结论．

解答 证明：延长AD、BC交于F点，如图，
∵BD⊥AD且BD平分∠ABC，
∴AD=FD，
∵∠FAC+∠AED=90°，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠FAC=∠CBE，
又∵∠FCA=∠ECB=90°，AC=BC，
∴△AFC≌△BEC，
∴AF=BE，
∴AD=$\frac{1}{2}$BE，
即BE═2AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用角平分线和直角三角形中角之间的关系式，求得三角形的全等，而得到结论．