Question

5．已知，△ABC中，∠BAC=90°，分别以AB、BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG，延长DC、GA交于点P．
（1）求证：△ABG≌△DBC；
（2）求证：PD⊥PG．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定方法可证明△ABG≌△DBC；
（2）由全等三角形的性质可得：∠BAG=∠BDC，再由正方形的性质证明∠P=∠E=90°，即PD⊥PG．

解答 证明：（1）∵四边形ABDE和四边形BCFG是正方形，
∴BG=BC，BA=BD，∠GBC=∠ABD=90°，
∴∠GBA=∠CBD，
在△ABG和△DBC中
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BC}\\{∠GBA=∠CBD}\\{BA=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DBC；
（2）∵△ABG≌△DBC，
∴∠BAG=∠BDC，
∵∠BAC=90°，
∴∠PAC+∠BAG=90°，
∵∠PAC+∠BDC=90°，∠EDC+∠BDC=90°，
∴∠PAC=∠EDC，
∴∠ACP=∠DCE，
∴∠P=∠E=90°，
∴PD⊥PG．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用主以及垂直的判定方法，重点考查学生的推理能力．