Question

（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（-2，1），交y轴于点M．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组

9a-3b+c=0 a+b+c=0 4a-2b+c=1

，通过解该方程组即可求得系数的值；
（2）由（1）中的抛物线解析式易求点M的坐标为（0，1）．所以利用待定系数法即可求得直线AM的关系式为y=

1

3

x+1．由题意设点D的坐标为（x0，-

1

3

x02-

2

3

x0+1），则点F的坐标为（x0，

1

3

x0+1）．易求DF=-

1

3

x02-

2

3

x0+1-(

1

3

x0+1)=-

1

3

x02-x0=-

1

3

(x0+

3

2

)2+

3

4

．根据二次函数最值的求法来求线段DF的最大值；
（3）需要对点P的位置进行分类讨论：点P分别位于第一、二、三、四象限四种情况．此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行解答．

解答：解：由题意可知

9a-3b+c=0 a+b+c=0 4a-2b+c=1

．解得

a=- 1 3 b=- 2 3 c=1

．
∴抛物线的表达式为y=-

1

3

x2-

2

3

x+1．

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．
设直线MA的表达式为y=kx+b，则

b=1 -3k+b=0

．
解得

k= 1 3 b=1

．
∴直线MA的表达式为y=

1

3

x+1．
设点D的坐标为（x0，-

1

3

x02-

2

3

x0+1），则点F的坐标为（x0，

1

3

x0+1）．
DF=-

1

3

x02-

2

3

x0+1-(

1

3

x0+1)
=-

1

3

x02-x0=-

1

3

(x0+

3

2

)2+

3

4

．
当x0=-

3

2

时，DF的最大值为

3

4

．
此时-

1

3

x02-

2

3

x0+1=

5

4

，即点D的坐标为（-

3

2

，

5

4

）．

（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，-

1

3

m2-

2

3

m+1）．
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．
①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，
∴-

1

3

m2-

2

3

m+1=3(m+3)，即m²+11m+24=0．解得m=-3（舍去）或m=-8．又-3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．
②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，
∴-

1

3

m2-

2

3

m+1=3(-m-3)，即m²+11m+24=0．
解得m=-3或m=-8．此时点P的坐标为（-8，-15）．
③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则-3(-

1

3

m2-

2

3

m+1)=m+3，即m²+m-6=0．
解得m=-3（舍去）或m=2．
当m=2时，-

1

3

x02-

2

3

x0+1=-

5

3

．此时点P的坐标为（2，-

5

3

）．
若PN=3NA，则-(-

1

3

m2-

2

3

m+1)=3(m+3)，即m²-7m-30=0．
解得m=-3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，-39）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（-8，-15）、（2，-

5

3

）、（10，-39）．

点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质以及二次函数最值的求法．需注意分类讨论，全面考虑点P所在位置的各种情况．