Question

14．实数m，n分别满足19m²+99m+1=0，19+99n+n²=0．求代数式$\frac{mn+4m+1}{n}$的值．

Answer 1

分析 把等式19+99n+n²=0两边除以n²得到19•（$\frac{1}{n}$）²+99•$\frac{1}{n}$+1=0，加上19m²+99m+1=0，则m和$\frac{1}{n}$可看作方程19x²+99x+1=0的两个解，根据根与系数的关系得到m+$\frac{1}{n}$=-$\frac{99}{19}$，m•$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{19}$，再把原式变形为m+4•m•$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵19+99n+n²=0，
∴19•（$\frac{1}{n}$）²+99•$\frac{1}{n}$+1=0，
而19m²+99m+1=0，
∴m和$\frac{1}{n}$可看作方程19x²+99x+1=0的两个解，
∴m+$\frac{1}{n}$=-$\frac{99}{19}$，m•$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{19}$，
∴原式=m+4•m•$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$
=-$\frac{99}{19}$+$\frac{4}{19}$
=-5．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．