Question

15．已知关于x的一元二次方程x²+$\sqrt{15}$x+2m-1=0．
（1）请你为m选取一个合适的正整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设x₁，x₂是（1）中所得到的方程的两个实数根，求x₁²+x₂²+x₁x₂的值．

Answer 1

分析 （1）根据△＞0求得m的取值范围，再进一步在范围之内确定m的一个整数值；
（2）根据根与系数的关系，对x₁²+x₂²+x₁x₂进行变形求解．

解答 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=15-4（2m-1）＞0，解得m＜$\frac{19}{8}$．
∴m=1．

（2）当m=1时，则得方程x²+$\sqrt{15}$x+1=0，
∵x₁，x₂是方程x²+4x=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-$\sqrt{15}$，x₁x₂=1，
∴x₁²+x₂²+x₁x₂=（x₁+x₂）²-x₁x₂=（-$\sqrt{15}$）²-1=14．

点评 此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0?方程有两个不相等的实数根；②△=0?方程有两个相等的实数根；③△＜0?方程没有实数根．以及根与系数的关系．