Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，AD为△ABC角平分线．
（1）用圆规在AB上作一点P，满足DP⊥AB；
（2）求：CD的长度．

Answer 1

分析 （1）过点D作AB的垂线，垂足为P即可；
（2）根据角平分线的性质可知∠CAD=∠BAD，利用AAS定理可知△ACD≌APD．在在Rt△ABC中根据勾股定理得出AB的长，设DP为x，则DP=x，BD=3-x，在Rt△DPB中，利用勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）如图，点P即为所求；

（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
又∵DC⊥AC、DP⊥AB，
∴∠C=∠APD．
在△ACD与APD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠APD}\\{∠CAD=∠BAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌APD（AAS）．
∴AP=AC=4，CD=PD．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5．
设DP为x，则DP=x，BD=3-x，在Rt△DPB中，∠DPB=90°，
∴DP²+PB²=DB²，即，x²+1²=（3-x）²，
解得x=$\frac{4}{3}$，
∴CD=DP=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的性质是解答此题的关键．