Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F．
（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；
（2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，根据垂直平分线的性质可得BO=AO，依此即可证明点O在AB的垂直平分线上；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，再根据垂直的定义，等腰三角形的性质和角的和差故选即可得到∠BOF的度数．

解答 （1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AD是BC的垂直平分线，
∴BO=CO，
∵OE是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
∴BO=AO，
∴点O在AB的垂直平分线上；
（2）解：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵∠CAD=20°，
∴∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，
∵OE⊥AC，
∴∠EFA=90°-40°=50°，
∵AO=CO，
∴∠OBA=∠BAD=20°，
∴∠BOF=∠EFA-∠OBA=50°-20°=30°．

点评 考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质．