题目内容
【题目】小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为
的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，
的两边分别与正方形的边BC、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF．
（探究发现）
在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图
所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系：______．
（拓展思考）
在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图
所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：______，并证明你的结论；
（创新应用）
若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．
【答案】（1）
；（2）
，见解析；（3）
或
.
【解析】
延长FD至G，使
，连接AG，先证
≌
，再证
≌
即可；
在DC上截取
，连接AH，先证
≌，再证
≌△EAF即可；
分两种情形分别求解即可解决问题．
解：结论：
．
理由：延长FD至G，使，连接AG，如图
，
是正方形，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
即：．
故答案为：．
结论：．
理由：在DC上截取，连接AH，如图
，
，
，
≌
，
，
，
，
，
，
，
≌
，
，
，
．
故答案为：．
当MA经过BC的中点E时，由（1）（2）可知：设
，则
，
．
在
中，
，
，
．
当NA经过BC的中点G时，由（1）（2）可知：设
，则
，
，
，
，
由勾股定理得到：
，
，
．
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