Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=10，AE=8，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD、AD，由AB=AC且∠ADB=90°知D是BC的中点，由O是AB中点知OD∥AC，根据OD⊥DE可得；
（2）证△ODF∽△AEF得$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OF}{AF}$，据此可得答案．

解答 解：（1）连接OD、AD，

∵DE切⊙O于点D，
∴OD⊥DE，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点，
又∵O是AB中点，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；

（2）∵AB=10，
∴OB=OD=5，
由（1）得OD∥AC，
∴△ODF∽△AEF，
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OF}{AF}$=$\frac{BF+OB}{BF+AB}$，
设BF=x，AE=8，
∴$\frac{5}{8}$=$\frac{x+5}{x+10}$，
解得：x=$\frac{10}{3}$，
经检验x=$\frac{10}{3}$是原分式方程的根，且符合题意，
∴BF=$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质、切线的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．